Tanım, Aksiyom, Teorem
Tanım: Bir terimin kapsamına giren her şeyi eksiksiz olarak belirten önermeye tanım denir.
Aksiyom: Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom denir.
Örnek: “Farklı iki noktadan sadece bir doğru geçer.” önermesi aksiyomdur.
Teorem: Doğruluğunun ispatlanması gereken önermelere teorem denir. Bir teorem hipotez ve hüküm olmak üzere iki kısımdan oluşur.
p ⇒ q teoreminde p ye hipotez (varsayım), q ya hüküm (yargı) denir. Bir teoremin hipotezi doğru iken hükmünün de doğru olduğunu göstermeye teoremin ispatı denir.
Örnek: “ABC üçgeni eşkenar üçgen ise tüm iç açıları 60° dir.” teoreminin hüküm ve hipotezini bulunuz.
Hipotez: “ABC üçgeni eşkenar üçgendir.”
Hüküm: “ABC üçgeninin tüm iç açıları 60° dir.”
İspat Yöntemleri
Doğrudan İspat Yöntemi: p ⇒ q koşullu önermesinde p önermesinin doğruluğu kabul edilerek q önermesinin doğruluğu gösterilir.
Dolaylı İspat Yöntemi: Bir teoremin kendisini ispatlamak yerine teoremin doğruluğunu gösteren bu teoreme denk başka bir önermenin doğruluğunun ispatlanmasıdır.
Karşıt Ters Yöntemi ile İspat (Olmayana Ergi): Bu yöntemde p ⇒ q önermesinin ispatı yerine buna denk olan karşıt tersi; q’ ⇒ p’ önermesi ispatlanır.
Çelişki Yöntemi ile İspat: p ⇒ q önermesinin doğruluğunu göstermek için (p ⇒ q)’ önermesinin yanlış olduğunu göstermeye dayanan ispat yöntemidir.
Yani; p ⇒ q ≡ 1 iken p Λ q’ ≡ 0 olduğunun gösterilmesi ile ispat sağlanır.
Aksine Örnek Vererek İspat: Verilen önermenin yanlış olduğunu gösteren en az bir örnek varsa önermenin yanlış olduğu ispatlanmış olur. Bu yönteme aksine örnek vererek ispat yöntemi denir.
Örnek: p: “Her tam sayının kendine bölümünün sonucu 1 dir.” Önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek vererek ispat yöntemiyle ispatlayınız.
Bu önermenin doğru olmadığını gösteren “0” tam sayısıdır. 0 / 0, tanımsız olduğundan önermenin yanlış olduğu ispat edilmiş olur.
Tümevarım Yöntemi ile İspat: p(n) açık önermesinin her n ∈ N+ olmak kaydıyla her zaman doğru olduğunu ispat etmek için,
– p(1) in doğru olduğu gösterilir.
– p(k) nın doğru olduğu kabul edilerek p(k + 1) in doğru olduğu gösterilir.
∀n ∈ N* için p(n) önermesinin doğruluğunu ispat için kullanılan bu yönteme tümevarım yöntemi ile ispat denir.
Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları Soruları ve Çözümleri
Mantık ünitesi burada sona erdi. Aşağıdaki bağlantılara tıklayarak tekrar etmek istediğiniz konuya gidebilirsiniz.
A. Önermeler ve Bileşik Önermeler
