Açık Önermeler ve Niceleyiciler 9. Sınıf


Kategoriler: 9. Sınıf Matematik, Mantık, Önermeler ve Bileşik Önermeler

Açık Önermeler

İçerisinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olan önermelere açık önerme denir. Denklemler ve eşitsizlikler açık önermedir. Değişkenlerin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine doğruluk kümesi denir.



Her ve Bazı Niceleyicileri

Günlük konuşmalarımızda da olduğu gibi matematik de “her”, “bütün”, “bazı”, “en az bir”, “hiç bir” gibi sözcük ya da sözcük gruplarını kullanırız.

Örneğin,
“Bazı günlerde alış verişe çıkarım.”
“Haftada en az bir gün kitap okurum.”
“Bazı ağaçların yaprakları dökülmez.”
“Her çift sayının 1 fazlası tek sayıdır.”
“Her negatif tam sayının karesi pozitiftir.
“Bazı doğal sayılar asal sayıdır.”



  • Her sözcüğü ile bütün, tüm, tamamı sözcükleri aynı anlama gelir. Bu sözcük “∀” sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

x bir değişken ve p(x), A kümesinde tanımlı bir önerme olmak üzere bu önerme ” ∀x ∈ A, p(x)” şeklinde yazılır. x in bütün değerleri için p(x) önermesinin doğru olması durumunda bu önerme doğru olur. Önermenin tanımlı olduğu A kümesinde p(x) i sağlamayan bir örnek bile verilebilirse “∀x ∈ A, p(x)” önermesi yanlış olur.

  • Bazı sözcüğü “en az bir” anlamındadır. Bu sözcük “∃” sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir.

x bir değişken ve p(x), A kümesinde tanımlı bir önerme olmak üzere bu önerme, “∃x ∈ A, p(x)” şeklinde yazılır. A kümesinde p(x) i doğrulayan en az bir tane x değeri varsa önerme doğrudur.

Her ve Bazı Niceleyicilerinin Değili



Sonraki Konu: Tanım, Aksiyom, Teorem ve İspat Kavramları

Açık Önermeler ve Niceleyiciler Soruları ve Çözümleri

ÖRNEK: Aşağıda sözel olarak verilen önermeleri sembolik mantık diliyle gösterip doğruluk değerini belirtelim.
a) p: "Her doğal sayı 2 ile tam bölünür.
b) q: "Her tam sayının karesi pozitiftir.
c) r: "Bazı x doğal sayıları için x - 7 sayısı doğal sayı değildir.
Çözüm:
a) p önermesi sembolik mantık diliyle
p(n): "Vn e N, 2 | n" şeklinde gösterilir. Önermede "her" niceleyicisi kullanıldığı için önermeyi bütün doğal sayılar sağlamalıdır. Örneğin, n = 5 bir doğal sayı ancak 5 sayısı 2 ile tam bölünmez. Dolayısıyla p önermesi yanlıştır, doğruluk değeri 0 dır.
b) q önermesi sembolik mantık diliyle q(n): "Vn e Z, n? > O" şeklinde gösterilir. Bu önermede de her niceleyicisi kullanıldığı için önermeyi tüm tam sayılar sağlamalıdır. Örneğin, n = 0 tam sayısı için n2 > O eşitliği sağlanmaz, çünkü 02 = O dır. Bu durumda q önermesi yanlıştır ve doğruluk değeri 0 dır.
c) r önermesi sembolik mantık diliyle
r(x): "Ex e N, x - 7 z N" şeklinde gösterilir. Bu önermede "bazı" niceleyicisi kullanıldığı için, önermeyi doğrulayan en az bir tane y sayısının bulunması önermeyi doğrular. x = 2 doğal sayısı için x - 7 = 2 - 7 = -5 doğal sayı değildir. O halde r önermesi doğrudur ve doğruluk değeri 1 dir.

Temel Yeterlilik Sınavı (TYT)
13 Haziran 2020 Cumartesi