EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
EKOK (En Küçük Ortak Kat)
EBOB VE EKOK UN BAZI ÖZELLİKLERİ
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN: İki veya daha fazla sayıyı aynı anda tam bölebilen sayılara ortak bölenler denir. Bu ortak bölenlerin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. Kısaca EBOB ile ifade edilir.
ÖRNEK: x ve y birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
EBOB(x, y) = 16 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en küçük değeri bulalım.
Çözüm: EBOB(x, y) = 16 olduğundan X ve y sayıları 16 nın tam katları olmalıdır. x ve y farklı olduğundan x için en az 16.1 = 16 seçilirse y için en az 16. 2 = 32 seçilir. O halde x + y toplamı en az 16 + 32 = 48 dir.
ÖRNEK: Toplamları 120 olan iki doğal sayının en büyük ortak böleni 5 olduğuna göre, bu sayılar arasındaki farkın mutlak değeri m, kaç olabilir?
Çözüm: Sayılarımız x ve y olsun.
x + y = 120 ve EBOB(x, y) = 5 verilmiş.
Bu durumda x = 5k, y = 5n alınabilir.
x + y = 120 ise 5k + 5n = 120
k + n = 24 olur.
k ve n sayıları birbirine yakın seçilirse, x ve y sayıları birbirine yakın olur. Böylece aralarındaki farkın mutlak değeri küçük olur.
k= 13, n = 11 olursa,
x = 5k = 65,
y = 5n = 55 olur. Bu durumda
[x - y| = |65 - 55| = 10 bulunur.
ÖRNEK: Mehmet Usta'nın elindeki üç kabın birincisinde 90 litre zeytinyağı, ikincisinde 126 litre ayçiçek yağı, üçüncüsünde 216 litre mısır özü yağı bulunmaktadır. Mehmet Usta bu yağları birbirine karıştırmadan eşit hacimli şişelere doldurmak isterse, şişe sayısı en az kaç olmalıdır?
Çözüm: Şişe sayısının en az olması için, mümkün olan en büyük hacimli şişeler kullanılmalıdır. Yağlar eşit hacimli şişelere doldurulacağı için, bir şişenin hacmi 90, 126 ve 216 sayılarının en büyük ortak böleni olmalıdır.
EBOB(90, 126, 216) = 2 . 3 . 3 = 18 olduğundan şişelerden birinin hacmi 18 litre olmalıdır. Bu durumda toplam
90 + 128 + 216 = 432 litre yağ için 432 / 18 = 24 adet şişe gerekir.
ÖRNEK: Kenar uzunlukları 90 m ve 165 m olan dikdörtgen biçimli bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bahçenin köşelerine de birer ağaç dikilmesi şartıyla bu iş için en az kaç ağaç gerekir?
Çözüm: Dikilecek olan ağaç sayısının en az olması için yan yana dikilen iki ağaç arasındaki mesafe en büyük olmalıdır. Bu mesafe ise bahçenin kenar uzunlukları olan 90 ve 165 sayılarının en büyük ortak bölenidir. EBOB(90, 165) = 3 . 5 = 15 olduğundan, yan yana dikilecek olan iki ağaç arası en çok 15 m olabilir. Bahçenin çevre uzunluğunu iki ağaç arasındaki mesafeye bölersek, dikilmesi gereken ağaç sayısını buluruz. Çevre = 2 . (90 +165)= 510 m
Dikilecek ağaç sayısı: 510: 15 = 34 bulunur.
